Interversion limite/intégrale

Intervertir sans précaution limite et intégrale, c’est MAL.

Posons $f_n(x)=(n+1)x^n$ pour $x\in [0,1]$ et $n\in \mathbb{N}$. Alors pour tout $n\in \mathbb{N}$, ${\int }_0^1{f}_n(x)dx=1$. Pourtant pour tout $x\in [0,1[$, $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)=0$ par croissancces comparées. Ainsi $1=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^1{f}_n(x)dx\ne {\int }_0^1\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)dx=0$