MP Dumont

Tous le code Python proposé est accessible dans un notebook Jupyter interactif. Notations On adopte les notations suivantes : $\cT_n^{++}(\dR)$ désigne l’ensemble des matrices triangulaires supérieures de $\cM_n(\dR)$ à coefficients diagonaux strictement positifs. $\langle\cdot,\cdot\rangle$ désigne le produit scalaire usuel sur $\cM_{n,1}(\dR)$ i.e. $\forall(X,Y)\in\cM_{n,1}(\dR)^2$, $\langle X,Y\rangle=X^\top Y$. Théorème Soit $A\in GL_n(\dR)$.... [Read More]

Tout le code intervenant dans cet article est disponible dans ce notebook Jupyter. from random import random from math import floor, log, exp, factorial Python dipose d’un module random dans la bibliothèque standard. La fonction du même nom de ce module renvoie un nombre aléatoire suivant une loi uniforme sur... [Read More]

Présentation du solitaire L’article qui suit est très inspiré de l’article A Solitaire Game and its Relation to a Finite Field de N. G. de Bruijn. J’ai choisi de remplacer l’utilisation du corps $\dF_4$ par l’anneau $\dZ[j]$ qui est sans doute plus familier des étudiants de première année. Le jeu... [Read More]

Voici la définition officielle de la signature au programme de MPSI. Définition. Il existe une unique application $\eps$ du groupe symétrique $S_n$ dans $\{-1,1\}$ telle que $\eps(\tau)=-1$ pour toute transposition $\tau$ et $\eps(\si\si’)=\eps(\si)\eps(\si’)$ pour toutes permutations $\si$ et $\si’$. Remarque. En MP, on dira plutôt que la signature est l’unique... [Read More]

On propose dans cet article une preuve alternative du petit théorème de Fermat via des considérations combinatoires. On en profitera pour introduire la notion d’action de groupe, primordiale en théorie des groupes. Introduction naïve On s’intéresse aux nombres de façons de colorier les sommets d’un polygone régulier à $p$ côtés... [Read More]