Suite logistique

Introduction

La suite logistique est un système dynamique discret permettant de modéliser l’évolution d’une population. Plus précisément, on considère la suite $(u_n)$ vérifiant la relation de récurrence suivante :

Le terme $u_n$ ne représente pas à proprement parler la population mais une fraction d’une population maximale donnée. Pour que la suite $(u_n)$ reste à valeurs dans $[0,1]$, on s’aperçoit qu’il faut choisir $r$ dans $[0,4]$.

Simulation

L’animation GeoGebra suivante représente les termes de cette suite.

Il est en particulier intéressant de prendre l’indice $k$ du premier terme représenté de l’ordre de $50$ pour avoir une idée du comportement asymptotique de cette suite. Pour plus de précision, on peut faire varier le paramètre $r$ à l’aide des flèches directionnelles : il se passe des choses intéressantes pour $r\in[3,4]$.

Comportement asymptotique

Si $u_0\in\lbrace 0,1\rbrace $, il est clair que la suite $(u_n)$ est nulle à partir du rang $1$ quelle que soit la valeur de $r$. On suppose donc $u_0\in]0,1[$ dans la suite.

• Lorsque $r\in[0,1]$, on voit clairement que $(u_n)$ converge vers $0$.

• Lorsque $r\in]1,3]$, la suite $(u_n)$ converge vers un point fixe non nul de $f$ (elle est mononotone à partir d’un certain rang si $r\in]1,2]$ tandis que les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont adjacentes à partir d’un certain rang lorsque $r\in]2,3]$).

• Lorsque $r\in]3,4]$, les choses se compliquent. La suite $(u_n)$ admet d’abord un cycle-limite¹ de longueur $2$, puis de longueur $4$, $8$, $16$ … Tous les cycles de longueur une puissance de $2$ apparaissent jusqu’à une certaine valeur de $r$ à partir de laquelle commence le chaos : l’évolution asymptotique de la suite $(u_n)$ est “imprévisible”² et dépend grandement de la condition initiale. Néanmoins, il existe certains intervalles isolés de valeurs de $r$ pour lesquelles la suite $(u_n)$ converge à nouveau vers un cycle-limite. On peut montrer que l’apparition des longueurs des cycles-limites suit un certain ordre appelé ordre de Charkovski.

Diagramme de Feigenbaum

Pour mieux comprendre ce qui précède, on trace les valeurs d’adhérences³ de la suite $(u_n)$ en fonction des valeurs de $r$.

Les résultats sont cohérents avec ce qui a été décrit précédemment. On observe notamment le doublement de la longeur du cycle limite à partir de $r=3$.

On peut zoomer pour voir plus précisément ce qui se passe pour $r\in[3,4]$.

On peut aussi remarquer en zoomant qu’on obtient également des cycles de longeur qui ne sont pas des puissances de $2$.

Le principe de doublement de la longueur du cycle reste encore valable. Dans la figure suivante, on voit apparaître successivement des cycles de longeur⁴ $3$, $6$, $12$ …

Code Python

Voilà la fonction Python utilisée pour le tracé du diagramme de Feigenbaum.

from numpy import linspace
from matplotlib.pyplot import scatter, show, xlim, ylim

def f(r, x):
    return r * x * (1 - x)

def feigenbaum(r1, r2, nb, N):
    r_range = linspace(r1, r2, nb)
    x = []
    y = []
    for r in r_range:
        u = .1
        for _ in range(N):
            u = f(r, u)
        for _ in range(N):
            u = f(r, u)
            x.append(r)
            y.append(u)
    scatter(x, y, marker='.', s=1)
    xlim(r1, r2)
    ylim(0, 1)
    show()