Arithmétique et idéaux

Arithmétique dans un anneau

Si $(A,+,\times )$ est un anneau commutatif, on peut définir une relation de divisibilité de la même manière que dans l’anneau $\mathbb{Z}$ des entiers relatifs ou l’anneau $\mathbb{K}[X]$ des polynômes à coefficients dans un corps $\mathbb{K}$ : on dit que $a\in A$ divise $b\in A$ s’il existe $c\in A$ tel que $b=ac$.

Notion d’idéal

La seule sous-structure d’anneau au programme de MPSI est la structure de sous-anneau. Mais ce n’est pas la structure adaptée pour faire de l’arithmétique dans un anneau.

Définition [Idéal] On appelle idéal d’un anneau commutatif $(A,+,\times )$ toute partie $I$ de $A$ telle que :

• $I$ est un sous-groupe de $(A,+)$ ;
• $I$ est absorbant : $\mathrm{\forall }(a,x)\in A\times I,ax\in I$.

Dans le cas particulier de $\mathbb{Z}$, on vérifie aisément que les idéaux sont en fait les sous-groupes de $\mathbb{Z}$.

La structure d’idéal est plus riche que celle de sous-anneau. Par exemple, le seul sous-anneau de $\mathbb{Z}$ est $\mathbb{Z}$ lui-même tandis qu’il possède une infinité d’idéaux. Par ailleurs, le noyau d’un morphisme d’anneaux n’est même pas un sous-anneau mais … un idéal.

On laisse le lecteur vérifier un résultat qui nous sera utile dans la suite, à savoir que la somme et l’intersection de deux (ou plus) idéaux d’un anneau est encore un idéal de cet anneau.

Idéaux principaux

Notamment, les ensembles $xA=\{ax,a\in A\}$ sont des idéaux de $A$ appelés idéaux principaux. La relation de divisibilité se traduit alors aisément à l’aide des idéaux principaux : $x$ divise $y$ si et seulement si $yA\subset xA$.

Un anneau dont tous les idéaux sont principaux est appelé un anneau principal.

Division euclidienne

L’existence d’une division euclidienne dans $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{K}[X]$ garantit que tous leurs idéaux sont principaux : ce sont donc des anneaux principaux.

Traitons par exemple le cas de $\mathbb{K}[X]$. Donnons-nous un idéal $I$ de $\mathbb{K}[X]$. Si $I=\{0\}$, $I$ est évidemment principal. Sinon, il contient un polynôme non nul de degré minimal : notons-le $P$. On a évidemment $P\mathbb{K}[X]\subset I$ d’après la propriété d’absorption. Soit alors $A\in \mathbb{K}[X]$. On écrit alors la division euclidienne de $A$ par $P$ : $A=PQ+R$ avec $\mathrm{deg}R<\mathrm{deg}P$. Alors $R=A-PQ\in I$ donc $R=0$ par minimalité du degré de $P$. Ainsi $A=PQ\in P\mathbb{K}[X]$. Finalement, $I=P\mathbb{K}[X]$ est principal.

PGCD et PPCM dans un anneau principal

L’existence du PGCD de deux (ou plus) éléments d’un anneau est garantie si l’anneau est principal (donc en particulier dans le cas de $\mathbb{Z}$ ou $\mathbb{K}[X]$).

Soit en effet deux éléments $x$ et $y$ d’un anneau principal $A$. Alors $xA+yA$ est une somme d’idéaux donc un idéal. Comme tous les idéaux de $A$ sont principaux, il existe $d\in A$ tel que $xA+yA=dA$. Mais alors $xA\subset dA$ et $yA\subset dA$ donc $d$ divise $x$ et $y$. De plus, si $\delta$ est un diviseur commun de $x$ et $y$, alors $xA\subset \delta A$ et $yA\subset \delta A$ donc $dA=xA+yA\subset \delta A$ de sorte que $\delta$ divise $d$. On a bien montré que $d$ était un PGCD de $x$ et $y$.

De même, l’existence d’un PPCM est à nouveau garantie si l’anneau est principal.

Si l’on se donne deux éléments $x$ et $y$ d’un anneau principal $A$, alors $xA\cap yA$ est une intersection d’idéaux donc un idéal. Comme tous les idéaux de $A$ sont principaux, il existe $m\in A$ tel que $xA\cap yA=mA$. Mais alors $mA\subset xA$ et $mA\subset yA$ donc $m$ est un mutiple $x$ et $y$. De plus, si $\mu$ est un multiple commun de $x$ et $y$, alors $\mu A\subset xA$ et $\mu A\subset yA$ donc $\mu A\subset xA\cap yA=mA$ de sorte que $m$ divise $\mu$. On a bien montré que $m$ était un PPCM de $x$ et $y$.