Les réflexions engendrent le groupe orthogonal

De la même façon que les transpositions engendrent le groupe symétrique, les réflexions d’un espace euclidien engendrent le groupe orthogonal. La preuve est d’ailleurs sensiblement la même.

Les transpositions engendrent le groupe symétrique

On rappelle rapidement la preuve du fait que les transpositions de $S_n$ engendrent le groupe symétrique $S_n$. On raisonne par récurrence. La propriété est évidemment vraie lorsque $n=1$. On la suppose vraie pour un certain $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. On considère alors une permutation $\sigma$ de $S_{n+1}$. Si $\sigma (n+1)=n+1$, alors $\sigma$ induit une permutation de $S_n$ qui est alors un produit de transpositions ; il en est alors de même de $\sigma$. Si $\sigma (n+1)\ne n+1$, on considère la transposition ${\sigma }^{\prime }=\tau \circ \sigma$. On a alors à nouveau ${\sigma }^{\prime }(n+1)=n+1$ et on se ramène au cas précédent. Ainsi ${\sigma }^{\prime }$ est un produit de transpositions et donc $\sigma$ également puisque ${\tau }^{-1}=\tau$ est une transposition.

Les réflexions engendrent le groupe orthogonal

Le groupe $O(E)$ est clairement engendré par les rélexions lorsque $\dim E=1$, puisqu’alors $O(E)=\{{\mathrm{Id}}_E,-{\mathrm{Id}}_E\}$ et $-{\mathrm{Id}}_E$ est une réflexion (la seule d’ailleurs). On suppose que le groupe orthogonal de tout espace euclidien de dimension $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ est engendré par les réflexions. On se donne alors un espace euclidien $E$ de dimension $n+1$ et $u\in O(E)$. Si $u={\mathrm{Id}}_E$, $u$ est bien un produit de réflexions. Sinon, il existe $a\in E$ (forcément non nul) tel que $u(a)\ne a$. Puisque $\Vert u(a)\Vert =\Vert a\Vert$, on peut montrer qu’il existe une réflexion $s$ échangeant $a$ et $u(a)$ (c’est géométriquement clair et on peut préciser que $s$ est la réflexion par rapport à l’hyperplan $\mathrm{vect}(u(a)-a){)}^{\perp }$). Alors $s\circ u$ coïncide avec l’identité sur $\mathrm{vect}(a)$. En particulier, $s\circ u$ stabilise $\mathrm{vect}(a)$. Puisque $s\circ u$ est un automorphisme orthogonal, il stabilise également $\mathrm{vect}(a{)}^{\perp }$. Ainsi $s\circ u$ induit un automorphisme orthogonal de $\mathrm{vect}(a{)}^{\perp }$. Par hypothèse de récurrence, cet automorphisme induit est un produit de réflexions de $\mathrm{vect}(a{)}^{\perp }$. On peut prolonger ces réflexions de $\mathrm{vect}(a{)}^{\perp }$ en des réflexions de $E$ en les faisant coïncider avec l’identité sur $\mathrm{vect}(a)$. On vérifie alors que $s\circ u$ est le produit de ces réflexions et $u$ est alors également une réflexion puisque $s^{-1}=s$ en est une.