MP Dumont

Toutes les fractions considérées dans cet article sont des fractions irréductibles d’entiers naturels. On adjoint à ces fractions la fraction $\frac{1}{0}$ dont on convient raisonnablement qu’elle est strictement supérieure à toutes les autres. Médiante de deux fractions On appelle médiante de deux fractions $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ la fraction $\frac{a}{b}\oplus\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}$. Pour... [Read More]

Description du problème On considère un système de corps de masses $m_i$ et de positions $\mathbf{r}_i$ soumis à la gravitation. D’après le principe fondamental de la dynamique \[\ddot{\mathbf{r}}_i=\sum_{j\neq i}\frac{Gm_j}{\|\mathbf{r}_j-\mathbf{r}_i\|^3}(\mathbf{r}_j-\mathbf{r}_i)\] Dans le cas où le système est formé de deux corps, on sait résoudre explicitement ce système d’équations différentielles. Dans le... [Read More]

On sait que les images des racines $n^\text{èmes}$ de l’unité forment un polygone régulier. On expose dans ce post la construction du pentagone régulier. Calcul de $\cos\frac{2\pi}{5}$ Il suffit de faire un tour par les complexes. En posant $\omega=e^\frac{2i\pi}{5}$, on a clairement $1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=\frac{\omega^5-1}{\omega-1}=0$. Or $\omega+\omega^4=\omega+\frac{1}{\omega}=2\cos\frac{2\pi}{5}$ et $\omega^2+\omega^3=\omega^2+\frac{1}{\omega^2}=2\cos\frac{4\pi}{5}=2(2\cos^2\frac{2\pi}{5}-1)$. Il s’ensuit que... [Read More]

Rappelez-vous en cours : calcul de \[\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\] Facile. La réponse est là. Plus dur : \[\sum_{k=0}^nk\binom{n}{k}\] La réponse est encore là. Maintenant, il commence à devenir énervant. On ne peut plus l’arrêter.

Vu en cours \[\sum_{1\leq i,j\leq n}\min(i,j)=\sum_{k=1}^nk^2\] Je vous laisse méditer sur cette animation. Oui, ça bouge ! A vous de trouver comment. Vous pouvez aussi vous amuser à trafiquer le code. Il suffit de cliquer sur le petit crayon.